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动力学方程分析方法, 系统的动能kE与位能pE的差定义为拉格朗日方程L:kpLEE 其中kpE、E可以用任何方便的坐标系来表示。从系统的动势能角度出发,建立了机构系统动力学方程式,即拉格朗日方程如下:iti 其中,iq表示动能和位能的坐标;iq表示相应的速度;i表示作用在第i个坐标上的力或力矩,由iq的直线坐标或角坐标决定;n为连杆数目,本文中n=3。
基于拉格朗日法建立的动力学方程能够明确地描述出各关节之间的耦合关系。假如已知每个杆的质量、质心坐标、惯性张量和旋转矩阵之后,可直接计算得到目标运动所需要的关节驱动力(力矩),推导过程简单。按照拉格朗日方程法推导的连杆机构动力学方程的一般形式为:形式如iiA的称为关节i的等效转动惯量;ij称为关节j对关节i的耦合惯量;aiI为油缸的等效转动惯量;iG为重力项;ijkH表示关节间的哥式力或向心力作用项;B为关节摩擦力矩;i为各关节驱动力矩;n为登高车连杆机构的自由度,在本文中等于3。等效转动惯量、耦合惯量和重力项对连杆机构的控制系统特别重要,决定了控制系统的位置精度和稳定性。而关节间的向心力或哥式力作用项仅在高速运动的环境中影响较大,在本文计算低速运动环境中则可以忽略不计。机构的摩擦力矩和油缸的等效转动惯量对于关节力矩的影响甚微,在计算时亦可省略。式(3.3)求解比较复杂,将忽略不计的省略掉,简化之后才能进行实际计算,对于我们所研究的三连杆机构,动力学方程的推导过程分五步:
(1)计算任一杆上任一点的速度;(2)计算各个连杆的动能及相对于工作平台的总动能;(3)计算各个连杆的位能及相对于工作平台的总位能;(4)建立工作平台系统的拉格朗日函数;(5)对拉格朗日函数求导,得到动力学方程。
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