陈村、均安、杏坛、龙江、乐从、北滘 大良、容桂、伦教、勒流
通解分解, 由于臂架顶端的动力学边界条件，使得系统的动力学方程不是齐次方程组。而针对该偏微分方程的解，可以假设包括一个齐次部分(ＲH)和一个非齐次部分(ＲⅠ)，Ｒ(z，t)=ＲⅠ(z，t)+ＲH(z，t) 针对变截面梁模型，可以进一步得到，Ｒi(z，t)=Ｒi，Ⅰ(z，t)+Ｒi，H(z，t)，齐次部分必须既满足偏微分方程和齐次边界条件，非齐次部分只满足非齐次边界条件。分离变量根据系统具有与时间无关的确定振型的特性，故仍可采用分离变量法解梁的横向弯曲振动问题。针对齐次微分方程的解，采用分离变量表示为Ｒi，H=T(t)Zi(z)(26)式中，T(t)为只与时间相关的函数，Zi(z)为只与空间相关的函数。其中ωn为常数时，方可使式(28)成立，且ωn与不同频率下的Tn(t)和Zi，n对应。整理式(28)可得时间相关函数有T··n(t)+ω2nTn(t)=0(29)空间相关函数有ZⅣi，n(z)－λi，nZi，n(z)=0(30)式中特征值λi，n定义为λi，n=ω2nηi，n≥1表示频谱阶数。以上矩阵取决于未知的特征值λi，n，i=1，…，N。对于n段梁的情况，矩阵Mn为4n×4n的方阵，而当段数N=1时，矩阵Mn退化为Mn=B1BN，[]n是4×4方阵，只有边界条件子矩阵，表示末端具有质量的均质悬臂梁，是分段梁模型的一个特例。当各段梁的属性EIi和ρAi已知时，可根据特征值与特征角频率ωn之间的关系，将各段梁的特征值统一由第一段梁的特征值表示λi，n=ηiη1λ1，n=AiA1I1Iiλ1，n(48)式(43)有非零解的条件是detMn=0(49)当梁的分段段数N越大，矩阵Mn的阶数越大，由于振型函数包括三角函数与双曲函数，式(49)可整理为复杂的超越方程，无法得到解析解。可通过Math-ematica中FindＲoot函数在指定区间求式(49)的数值解，得到对应频率的特征值λi，n，结合式(48)，可以得到各段λi，n的数值解，从而得到系数向量pn，进而得到各段梁的特征函数即振型函数Zi，n。结合由式(29)得到的时间相关函数Tn(t)，可得到齐次解为Ｒi，H=∑∞n=1Zi，nTn(t)(50)2．3非齐次解偏微分方程式(5)的解假设为齐次解和一个非齐次微分方程解的和。非齐次解只符合连续条件和非齐次边界条件，但并非控制微分方程所必须。非齐次解假设为Ｒi，Ⅰ=fi(z)u(t)=fi(z)θ(t)(51)假设由式(17)推导出的非齐次偏微分方程在z=L处成立，得到非齐次边界条件，非齐次解也必须符合连续性条件。在此假设下，可以得出fi(z)=z是该问题的特解，其满足所有边界条件和连续性条件。
主坐标下振动方程求解与多自由度系统的振型叠加法类似，对于变截面梁的动位移可以由主坐标平面内的振型函数与权函数表示。首先，定义主坐标下展开形式。令h∈H，则函数h(z)可以展开成广义傅立叶级数的形式h(z)=∑∞n=1h*nZn(z)(58)其中Zn(z)是归一化的特征函数由Zn(z)Zn(z)/Zn(z)定义。系数h*n(z)由h*n(z)=〈h(z)，Zn(z)〉定义。对级数展开两端求内积，并根据特征函数的正交性可，Zk(z)〉=h*k(59)针对运动方程式(17)在主坐标下逐项进行广义傅里叶级数展开。对于每一段梁有ρA(z)=ρAi，z∈Δi可得Ｒ··H(z，t)+1ηiＲⅣH(z，t)=－Ｒ··I(z，t)－1ηiＲⅣI(z，t)对各项求得展开系数为Ｒ··*H，n(t)、ω2nＲ*H，n(t)令非齐次解ＲI(z，t)为ＲI=f(z)u(t)在主坐标下表示为 对微分项做相同处理可得运动方程式. 由于解Ｒ(z，t)是齐次与非齐次解之和，在主坐标下可以表示为Ｒ*n(t)=Ｒ*H，n(t)+f*nu(t)可得主坐标下各阶振动方程. 如果考虑结构自身阻尼，则可进一步得到，Dn为各阶的阻尼系数，可由实验或根据计算得到。
利用求得的各阶固有频率和振型函数，代入式(61)和(62)可得各阶振动方程式(64)中的参数f*n和fⅣ*n。由于第三阶及更高阶振动对整体影响较小，并考虑到液压系统的控制频率限制，只考虑前两阶振动对系统的影响。利用状态空间表述系统振动特性，针对不同的输出量y，可通过改变C与D的值获得。例如，获得臂头位置的位移(弧长)变化，则需令0，D=03实际算例根据现有某型号直臂吊车臂架参数，得到三节伸缩臂在全伸状态下的前三阶振。利用Simulink中的状态空间模块可快速获得所需要的输出量y。仿真时间设定为80s，输入信号u(t)为臂架仰角θ的变化曲线。图5所示为给定臂架仰角变化曲线，得到臂头位置的角位移曲线，偏差是由于忽略了三阶及以上的振型所致;图6所示为臂头位置的线速度变化曲线;
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