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（1）位置描述坐标系一旦建立，对于世界坐标系中的任意一点即可用任意一个31的位置矢量来描述。例如，如果对于一个确定的直角坐标系A，空间内任意一点P的位置都可用731列矢量AP描述，则称AP为P位置矢量：xAyz 其中，xp、yp、zp是点P在坐标系中A的3个坐标分量。AP的上标A代表参考坐标系A。我们称AP为位置矢量。
（2）方位描述在空间中描述某个点的位置时，为了准确研究机器人的运动特性，在进行坐标系描述时，通常还需要描述物体的方位。一般用固定于物体上的坐标系来描述。我们通常选定与某刚体B固接的直接坐标系B来描述空间中刚体B的方位。用直角坐标系B的三个矢量Bx、By、Bz相对于参考坐标系的方向余弦组成的33矩阵来表示刚体B相对于坐标系A的方位：其中，ABR称为旋转矩阵，上标A表示参考坐标系A，下标B代表被描述的直角坐标系B。每个矢量在参考系的中的投影分量称为标量，用ijr表示。
（3）位姿描述一般情况下，用刚体B与某一坐标系B的固接来完全描述刚体B在空间中的位姿。通常坐标系B的坐标原点与其特征点重合，例如质心。用旋转矩阵ABR和位置矢量ABoP来描述P点的空间位姿，为AABBoRP。则相应的齐次坐标变方程可由ABT来表示.
（4）末端执行器坐标系描述选定一个参考坐标系A，规定坐标系与末端执行器固联来描述末端执行器的位姿，称为末端执行器坐标系T。末端执行器坐标系T的Z轴通常设在自己靠近物体的方向，称为接近矢量a；末端执行器两端联线方向即Y轴所在方向，称为方向矢量o；X轴由右手法则确定：noa。ATRnoa因此末端执行器的方向由旋转矩阵式所规定，三个单位正交列矢量n、o、a描述了末端执行器的位置和方位。而末端执行器的位置由其坐标系T的原点所约束，8用位置矢量P来表示。由四个矢量noap来表示末端执行器的空间位姿：
齐次坐标变换不同坐标系中的描述不同。下面以点P为例阐述从一个坐标系到另一个坐标系描述之间的映射关系。（1）平移坐标变换设坐标系B与坐标系A有着相同方位，不同的坐标原点。若用位置矢量ABP描述坐标系B相对于坐标系A的位置，那么我们称ABoP为坐标系B相对于坐标系A的平移矢量。若P点在坐标B中的位置为BP，则点P相对于坐标系A的位置矢量AP可由两者相加得出：ABAB. （2）旋转坐标变换若坐标系B与坐标系A有着共同的坐标系原点，不同的方位。用旋转矩阵ABR描述B相对于A的方位。同一点P在两个不同的坐标系A和B中的表示方法AP和BP具有如下变换关系：BX9AP=ABRBP（3）复合坐标变换多数情况下，不同坐标系B与A的原点不会重合，方位也不会相同。如果我们用位置矢量ABoP表示坐标系B的原点相对于坐标系A的位置，用旋转矩阵ABR表示坐标系B相对于坐标系A的方位，那么对于任意一点P分别在坐标系A和坐标系B中的描述AP、BP具有以下关系 被叫做复合变换，实质上是旋转坐标变换和平移坐标变换的复合变换。（4）齐次坐标变换已知笛卡尔直角坐标系中某点的坐标，该点在另一笛卡尔直角坐标系中的坐标可以由齐次坐标变换获得。相对于BP是非齐次的，但可被转换为齐次的变换形式：其中，我们用41的列向量描述了一个点的三维空间，叫做这个点的齐次坐标，用AP或BP表示。可以把上式等价为以下矩阵形式：AP=ABBTp 的AP、BP皆为41的列向量，与（2.8）式中的维数不等，增加了第四个元素。ABT综合表示了平移变换和旋转变换。
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